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本文是笔者修读同济大学 2019-2020 学年第二学期 “中国近现代史纲要” 时所完成的期末论文。

上川铁路是 1926 年至 1975 年间由上海市区前往川沙的一条铁路干线。始于庆宁寺轮渡站,终于机场北面的祝桥地区。其建设大约经历了十年,初期由上川交通公司与塘工善后局、川沙工程局合作,逐次修建自庆宁寺至川沙的一段,后在 1929 年开始与南汇县政府合作修建由川沙至祝桥的一段。

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本文是笔者修读同济大学 2019-2020 学年第二学期 “日本文化前沿” 时所完成的课程论文。

导言

鲁迅与日本的关系匪浅。1904年,鲁迅随着当年的留日大潮东渡,在仙台医专就读。1906年,鲁迅受“日俄战争教育片”之刺激,弃医从文。其后到1909年,鲁迅在日本学习德、俄语,以译介者的身份,介入中国文坛。日本对早年鲁迅的影响恐怕是不小的。同样的,日本的鲁迅与“鲁迅”的形象,在“十四年战争”及其后日本的思想史上成为了一个重要的母题。鲁迅在中国近现代的思想文化的建构上起了重要的作用,受到战时日本的学者的注意。但这种注意中的“鲁迅”与其说是鲁迅的真实写照,不妨说是鲁迅的“形象”,这种形象往往是私人性的,有时更带有个人观念的投射。这种投射成为了日本思想史演进的一个值得注意的课题,恐怕是日本、乃至东亚思想史上所不多见的。

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Problem 1 P113 Task 7

设 $f(t)$ 在区间 $(a,b)$ 内连续可导,函数 $ F(x,y)= \begin{cases} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}, & (x \neq y) \\ f'(x), & (x = y) \end{cases} $ 定义在区域 $ D = (a,b) \times (a,b) $ 上。
证明:对于 $ \forall c \in (a,b) $ ,有 $ \lim_{(x,y) \to (c,c)} F(x,y) = f'(c) $ 。

$ x \neq y $ 的部分与拉格朗日中值定理的形式类似,则据拉格朗日中值定理, $ f(x)-f(y)=f'(\xi)(x-y) $ ,其中 $ \xi \in (min\{x,y\},max\{x,y\})$ ,变形得 $f'(\xi)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ ,则:
$$ \lim_{(x,y) \to (c,c) , x \neq y} F(x,y) = \lim_{(x,y) \to (c,c) } f'(\xi) = f'(c) $$
对 $ x=y $ 的情况,参考 $F(x,y)$ 定义,有:
$$ \lim_{(x,y) \to (c,c) , x = y} F(x,y) = \lim_{x \to c} f'(x) = f'(c)$$
则原命题得证。

Problem 2 P125 Task 8(2)

求 $ z=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} $ 在点 $(1,0)$ , $(0,1)$ 上的全微分。

解:
$$ \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\sqrt{x^2+y^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}} $$
$$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}} \cdot -\frac{1}{2} \cdot 2y = - \frac{xy}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}} $$
显然,函数的两个偏导数在 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的邻域上存在,且 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 是初等函数,它们在邻域上是连续的。
$$ \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}z = \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}x \frac{\partial z}{\partial x} + \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}y \frac{\partial z}{\partial y} $$

代入 $(1,0)$ ,有 $ \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}z = 0 $ 。
代入 $(0,1)$ ,有 $ \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}z = \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}x $ 。